元素的笔记

如图，球 O 是以点 O 为球心的单位球，圆 O 是球 O 的大圆（球心截面）。

过点 O′ 作平行于圆 O 的球截面圆 O′。

在圆 O 上任取两点 A, B，分别在圆 O′ 上做其正投影。

作射线 O′A′, O′B′，分别过 A, B 的正投影点并交圆 O′ 于 A′, B′。

连接 OA, OB, OA′, OB′。

现探究 ∠A′OB′ 与 ∠AOB、∠A′OA 的关系。

题目描述

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

$$F_n = \left\{\begin{aligned} 1 \space (n \le 2) \\ F_{n-1}+F_{n-2} \space (n\ge 3) \end{aligned}\right.$$

请你求出 F_n mod  10⁹ + 7 的值。

猫和老鼠所在的庄园可以视为一张由 n 个点和 m 条带权无向边构成的连通图。结点依次以 1, 2, …, n 编号，结点 i（1 ≤ i ≤ n）有价值为 c_i 的奶酪。在 m 条带权无向边中，第 i（1 ≤ i ≤ m）条无向边连接结点 u_i 与结点 v_i，边权 w_i 表示猫和老鼠通过这条边所需的时间。

猫窝位于结点 a，老鼠洞位于结点 b。对于老鼠而言，结点 u 是安全的当且仅当：

• 老鼠能规划一条从结点 u 出发逃往老鼠洞的路径，使得对于路径上任意结点 x（包括结点 u 与老鼠洞）都有：猫从猫窝出发到结点 x 的最短时间严格大于老鼠从结点 u 沿这条路径前往结点 x 所需的时间。

老鼠在拿取安全结点的奶酪时不存在被猫抓住的可能，但在拿取不是安全结点的奶酪时则不一定。为了确保万无一失，老鼠决定只拿取安全结点放置的奶酪。请你计算老鼠所能拿到的奶酪价值之和。

题目描述

小杨所在班级共有 n 位同学，依次以 1, 2, …, n 标号。这 n 位同学想排成一行队伍，其中有些同学之间关系非常好，在队伍里需要排在相邻的位置。具体来说，有 m 对这样的关系（m 是一个非负整数）。当 m ≥ 1 时，第 i 对关系（1 ≤ i ≤ m）给出 a_i, b_i，表示排队时编号为 a_i 的同学需要排在编号为 b_i 的同学前面，并且两人在队伍中相邻。

现在小杨想知道总共有多少种排队方式。由于答案可能很大，你只需要求出答案对 10⁹ + 7 取模的结果。

闲着没事写的

一天有 T(1≤T≤10⁶) 个时段。约翰正打算安排他的 N(1≤N≤2.5×10⁴) 只奶牛来值班，打扫打扫牛棚卫生。每只奶牛都有自己的空闲时间段 $ S_i,E_i$，只能把空闲的奶牛安排出来值班。而且，每个时间段必需有奶牛在值班。

那么，最少需要动用多少奶牛参与值班呢？如果没有办法安排出合理的方案，就输出  − 1。

如题，已知一个数列 {a_i}，你需要进行下面两种操作：

1. 将某区间每一个数加上 k。
2. 求出某区间每一个数的和。

农夫约翰有 N 头奶牛正在过乱头发节。

每一头牛都站在同一排面朝右，它们被从左到右依次编号为 1, 2, ⋯, N。编号为 i 的牛身高为 h_i。第 N 头牛在最前面，而第 1 头牛在最后面。

对于第 i 头牛前面的第 j 头牛，如果 h_i > h_i + 1, h_i > h_i + 2, ⋯, h_i > h_j，那么认为第 i 头牛可以看到第 i + 1 到第 j 头牛。

定义 C_i 为第 i 头牛所能看到的牛的数量。请帮助农夫约翰求出 C₁ + C₂ + ⋯ + C_N。

给出一个长度为 n 的序列 a_i，求出下列式子的值：

$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} (\max_{i\le k\le j} a_k-\min_{i\le k\le j} a_k)$$

即定义一个子序列的权值为序列内最大值与最小值的差。求出所有连续子序列的权值和。

设 T = (V,E,W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边都有正整数的权，我们称 T 为树网（treenetwork），其中 V，E 分别表示结点与边的集合，W 表示各边长度的集合，并设 T 有 n 个结点。

路径：树网中任何两结点 a，b 都存在唯一的一条简单路径，用 d(a,b) 表示以 a, b 为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称 d(a,b) 为 a, b 两结点间的距离。

D(v,P) = min {d(v,u)}, u 为路径 P 上的结点。

树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网 T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距 ECC(F)：树网 T 中距路径 F 最远的结点到路径 F 的距离，即

ECC(F) = max {D(v,F), v ∈ V}

任务：对于给定的树网 T = (V,E,W) 和非负整数 s，求一个路径 F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过 s（可以等于 s），使偏心距 ECC(F) 最小。我们称这个路径为树网 T = (V,E,W) 的核（Core）。必要时，F 可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A − B 与 A − C 是两条直径，长度均为 20。点 W 是树网的中心，EF 边的长度为 5。如果指定 s = 11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为 8。如果指定 s = 0（或 s = 1、s = 2），则树网的核为结点 F，偏心距为 12。