[C++] 优秀的拆分

洛谷P7071

一般来说，一个正整数可以拆分成若干个正整数的和。

例如，1 = 1，10 = 1 + 2 + 3 + 4 等。对于正整数 n 的一种特定拆分，我们称它为“优秀的”，当且仅当在这种拆分下，n 被分解为了若干个不同的 2 的正整数次幂。注意，一个数 x 能被表示成 2 的正整数次幂，当且仅当 x 能通过正整数个 2 相乘在一起得到。

例如，10 = 8 + 2 = 2³ + 2¹ 是一个优秀的拆分。但是，7 = 4 + 2 + 1 = 2² + 2¹ + 2⁰ 就不是一个优秀的拆分，因为 1 不是 2 的正整数次幂。

现在，给定正整数 n，你需要判断这个数的所有拆分中，是否存在优秀的拆分。若存在，请你给出具体的拆分方案。

输入格式

输入只有一行，一个整数 n，代表需要判断的数。

输出格式

如果这个数的所有拆分中，存在优秀的拆分。那么，你需要从大到小输出这个拆分中的每一个数，相邻两个数之间用一个空格隔开。可以证明，在规定了拆分数字的顺序后，该拆分方案是唯一的。

若不存在优秀的拆分，输出 -1。

输入输出样例 #1

输入 #1

6

输出 #1

4 2

输入输出样例 #2

输入 #2

7

输出 #2

-1

说明/提示

样例 1 解释

6 = 4 + 2 = 2² + 2¹ 是一个优秀的拆分。注意，6 = 2 + 2 + 2 不是一个优秀的拆分，因为拆分成的 3 个数不满足每个数互不相同。

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数据规模与约定

• 对于 20% 的数据，n ≤ 10。
• 对于另外 20% 的数据，保证 n 为奇数。
• 对于另外 20% 的数据，保证 n 为 2 的正整数次幂。
• 对于 80% 的数据，n ≤ 1024。
• 对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 10⁷。

题解

很明显我们可以注意到，任意正整数表示为二进制后末位为0（即其是偶数），则存在优秀的拆分。

当我们试图从二进制逆向回十进制时，我们对这个数的第n位乘以 2^n − 1 ，并累加，由此我们可以得出：

$$ \text{Decimal} = \sum_{i=0}^{n-1} b_i \times 2^i $$

因此，当 b₀ = 0 时，又因为 b_i ∈ {0, 1} ∀i，所以此时该数一定存在优秀的拆分。

而且这个拆分就是这个公式去掉所有为0项的结果。

因此我们可以简单的通过位运算拆出来

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    if(n<=0 || n&1){
        cout << -1;
        return 0;
    }
    int m, x;
    while(n&&(m=log2(n))){
        x = 1 << m;
        cout << x << " ";
        n -= x;
    }
    return 0;
}