[C++] P7910 [CSP-J 2021] 插入排序

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插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 𝒪(1)，则插入排序可以以 𝒪(n2) 的时间复杂度完成长度为 n 的数组的排序。不妨假设这 n 个数字分别存储在 a1, a2, …, an 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码：

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for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j >= 2; j--)
        if (a[j] < a[j-1]) {
            int t = a[j-1];
            a[j-1] = a[j];
            a[j] = t;
        }

这下面是 Pascal 的示范代码：

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for i:=1 to n do
    for j:=i downto 2 do
        if a[j]<a[j-1] then
            begin
                t:=a[i];
                a[i]:=a[j];
                a[j]:=t;
            end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 n 的数组 a，数组下标从 1 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 a 上的 Q 次操作，操作共两种，参数分别如下：

1 x v：这是第一种操作，会将 a 的第 x 个元素，也就是 ax 的值，修改为 v。保证 1 ≤ x ≤ n，1 ≤ v ≤ 109。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

2 x：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 a 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 a 的第 x 个元素，也就是 ax，在排序后的新数组所处的位置。保证 1 ≤ x ≤ n。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 1 的操作次数不超过 5000。

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

第一行，包含两个正整数 n, Q，表示数组长度和操作次数。

第二行，包含 n 个空格分隔的非负整数，其中第 i 个非负整数表示 ai。

接下来 Q 行，每行 2 ∼ 3 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。

输出格式

对于每一次类型为 2 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

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3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

输出 #1

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1
2

说明/提示

【样例解释 #1】

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3, 2, 1。

在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3, 1, 2。

注意虽然此时 a2 = a3，但是我们不能将其视为相同的元素。

【样例 #2】

见附件中的 sort/sort2.in 与 sort/sort2.ans。

该测试点数据范围同测试点 1 ∼ 2。

【样例 #3】

见附件中的 sort/sort3.in 与 sort/sort3.ans。

该测试点数据范围同测试点 3 ∼ 7。

【样例 #4】

见附件中的 sort/sort4.in 与 sort/sort4.ans。

该测试点数据范围同测试点 12 ∼ 14。

【数据范围】

对于所有测试数据，满足 1 ≤ n ≤ 8000，1 ≤ Q ≤ 2 × 105，1 ≤ x ≤ n，1 ≤ v, ai ≤ 109。

对于所有测试数据，保证在所有 Q 次操作中，至多有 5000 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

测试点 n≤ Q≤ 特殊性质
1 ∼ 4 10 10 无
5 ∼ 9 300 300 无
10 ∼ 13 1500 1500 无
14 ∼ 16 8000 8000 保证所有输入的 ai, v 互不相同
17 ∼ 19 8000 8000 无
20 ∼ 22 8000 2 × 105 保证所有输入的 ai, v 互不相同
23 ∼ 25 8000 2 × 105 无

题解

最难降复杂度的一集

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int n, Q;
    cin >> n >> Q;
    
    vector< pair<int, int> > a(n);
    for(auto& i : a) cin >> i.first;
    
    vector<pair<int, int>*> b;
    b.reserve(n);
    for(int i=0;i<n;i++) b.push_back(&a[i]);
    stable_sort(b.begin(), b.end(), [](pair<int, int>* a, pair<int, int>* b){return a->first < b->first;});
    for(int i=0;i<n;i++) b[i]->second = i;
    
    // debug
//    cout << "debug: ";
//    for(int i=0;i<n;i++) cout << a[i].second+1 << "(" << i+1 << ") ";
//    cout << endl;
    
    while(Q--){
        int o;
        cin >> o;
        switch(o){
        case 1:
            {
                int x, v;
                cin >> x >> v;
                x--;
                int bv = a[x].first;
                for(int i=0;i<n;i++){
                    if(i==x) continue;
                    int t = a[i].first;
                    if(v>bv){
                        if(
                            (i>x&&t==bv) || 
                            (t>bv&&t<v) ||
                            (i<x&&t==v)
                        )
                        {
                            a[i].second--;
                            a[x].second++;
                        }
                    }else if(v<bv){
                        if(
                            (i<x&&t==bv) ||
                            (t<bv&&t>v) ||
                            (i>x&&t==v)
                        ){
                            a[i].second++;
                            a[x].second--;
                        }
                    }
                }
                a[x].first = v;
                
                // debug
//                cout << "debug: ";
//                for(int i=0;i<n;i++) cout << a[i].second+1 << "(" << i+1 << ") ";
//                cout << endl;
            }
            break;
        case 2:
            {
                int x;
                cin >> x;
                x--;
                cout << a[x].second+1 << endl;
            }
            break;
        }
    }
    
    return 0;
}