球面余弦定理
如图，球 O 是以点 O 为球心的单位球，圆 O 是球 O 的大圆（球心截面）。
过点 O′ 作平行于圆 O 的球截面圆 O′。
在圆 O 上任取两点 A, B，分别在圆 O′ 上做其正投影。
作射线 O′A′, O′B′，分别过 A, B 的正投影点并交圆 O′ 于 A′, B′。
连接 OA, OB, OA′, OB′。
现探究 ∠A′OB′ 与 ∠AOB、∠A′OA 的关系。
探究过程
不妨建立空间直角坐标系。令 OB 为 x 轴正方向，OO′ 为 z 轴正方向，点 O 为原点，建立空间直角坐标系如图所示。
易知圆 O 位于平面 xy 上且为单位圆。
设圆 O′ 位于平面 z = h 上（ − 1 < h < 1），∠AOB = α，∠A′OB′ = β，∠A′OA = γ。
则易知： O(0,0,0), O′(0,0,h), A(cosα,sinα,0), B(1,0,0)
由于圆 O′ 在球面 x2 + y2 + z2 = 1 且平面 z = h 上，则它的半径为： $$ r = \sqrt{1 - h^2} $$
向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 投影到圆 O′ 所在平面后，对应点 A′ 和 B′ 的经度角保持不变，即： A′(rcosα,rsinα,h), B′(r,0,h)
由于 A′ 和 B′ 都在球面上，所以 $|\overrightarrow{OA'}| = |\overrightarrow{OB'}| = 1$。
接着利用向量点积可以得到： $$ \cos\beta = \overrightarrow{OA'} \cdot \overrightarrow{OB'} = r^2 \cos\alpha + h^2 $$ $$ \cos\gamma = \overrightarrow{OA'} \cdot \overrightarrow{OA} = r $$
则： sin2γ = 1 − cos2γ = 1 − r2 = 1 − (1−h2) = h2
代入，最终得： cos β = cos αcos2γ + sin2γ
结论
球面余弦定理： cos ∠A′OB′ = cos ∠AOB ⋅ cos2∠A′OA + sin2∠A′OA