球面余弦定理

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示意图

如图，球 OO 是以点 OO 为球心的单位球，圆 OO 是球 OO 的大圆（球心截面）。

过点 O′O' 作平行于圆 OO 的球截面圆 O′O'。

在圆 OO 上任取两点 A,BA, B，分别在圆 O′O' 上做其正投影。

作射线 O′A′,O′B′O'A', O'B'，分别过 A,BA, B 的正投影点并交圆 O′O' 于 A′,B′A', B'。

连接 OA,OB,OA′,OB′OA, OB, OA', OB'。

现探究 ∠A′OB′\angle A'OB' 与 ∠AOB\angle AOB、∠A′OA\angle A'OA 的关系。

探究过程

不妨建立空间直角坐标系。令 OBOB 为 xx 轴正方向，OO′OO' 为 zz 轴正方向，点 OO 为原点，建立空间直角坐标系如图所示。

易知圆 OO 位于平面 xyxy 上且为单位圆。

设圆 O′O' 位于平面 z=hz = h 上（−1<h<1-1 < h < 1），∠AOB=α\angle AOB = \alpha，∠A′OB′=β\angle A'OB' = \beta，∠A′OA=γ\angle A'OA = \gamma。

则易知：

O(0,0,0),O′(0,0,h),A(cos⁡α,sin⁡α,0),B(1,0,0)O(0, 0, 0), \quad O'(0, 0, h), \quad A(\cos\alpha, \sin\alpha, 0), \quad B(1, 0, 0)

由于圆 O′O' 在球面 x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1 且平面 z=hz = h 上，则它的半径为：

r=1−h2r = \sqrt{1 - h^2}

向量 OA→\overrightarrow{OA} 和 OB→\overrightarrow{OB} 投影到圆 O′O' 所在平面后，对应点 A′A' 和 B′B' 的经度角保持不变，即：

A′(rcos⁡α,rsin⁡α,h),B′(r,0,h)A'(r\cos\alpha, r\sin\alpha, h), \quad B'(r, 0, h)

由于 A′A' 和 B′B' 都在球面上，所以 ∣OA′→∣=∣OB′→∣=1|\overrightarrow{OA'}| = |\overrightarrow{OB'}| = 1。

接着利用向量点积可以得到：

cos⁡β=OA′→⋅OB′→=r2cos⁡α+h2\cos\beta = \overrightarrow{OA'} \cdot \overrightarrow{OB'} = r^2 \cos\alpha + h^2

cos⁡γ=OA′→⋅OA→=r\cos\gamma = \overrightarrow{OA'} \cdot \overrightarrow{OA} = r

则：

sin⁡2γ=1−cos⁡2γ=1−r2=1−(1−h2)=h2\sin^2\gamma = 1 - \cos^2\gamma = 1 - r^2 = 1 - (1 - h^2) = h^2

代入，最终得：

cos⁡β=cos⁡αcos⁡2γ+sin⁡2γ\cos\beta = \cos\alpha \cos^2\gamma + \sin^2\gamma

结论

球面余弦定理：

cos⁡∠A′OB′=cos⁡∠AOB⋅cos⁡2∠A′OA+sin⁡2∠A′OA\cos\angle A'OB' = \cos\angle AOB \cdot \cos^2\angle A'OA + \sin^2\angle A'OA