[C++] P1099 [NOIP 2007 提高组] 树网的核

设 $T=(V,E,W)$ 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边都有正整数的权，我们称 $T$ 为树网（treenetwork），其中 $V$，$E$ 分别表示结点与边的集合，$W$ 表示各边长度的集合，并设 $T$ 有 $n$ 个结点。

路径：树网中任何两结点 $a$，$b$ 都存在唯一的一条简单路径，用 $d(a, b)$ 表示以 $a, b$ 为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称
$d(a, b)$ 为 $a, b$ 两结点间的距离。

$D(v, P)=\min\{d(v, u)\}$, $u$ 为路径 $P$ 上的结点。

树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网 $T$，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距 $\mathrm{ECC}(F)$：树网 $T$ 中距路径 $F$ 最远的结点到路径 $F$ 的距离，即

$$\mathrm{ECC}(F)=\max\{D(v, F),v \in V\}$$

任务：对于给定的树网 $T=(V, E, W)$ 和非负整数 $s$，求一个路径 $F$，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过 $s$（可以等于 $s$），使偏心距 $\mathrm{ECC}(F)$ 最小。我们称这个路径为树网 $T=(V, E, W)$ 的核（Core）。必要时，$F$ 可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，$A-B$ 与 $A-C$ 是两条直径，长度均为 $20$。点 $W$ 是树网的中心，$EF$ 边的长度为 $5$。如果指定 $s=11$，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为 $8$。如果指定 $s=0$（或 $s=1$、$s=2$），则树网的核为结点 $F$，偏心距为 $12$。

输入格式

共 $n$ 行。

第 $1$ 行，两个正整数 $n$ 和 $s$，中间用一个空格隔开。其中 $n$ 为树网结点的个数，$s$ 为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为 $1,2\dots,n$。

从第 $2$ 行到第 $n$ 行，每行给出 $3$ 个用空格隔开的正整数 $u, v, w$，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，2 4 7 表示连接结点 $2$ 与 $4$ 的边的长度为 $7$。

输出格式

一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

输出 #1

5

输入输出样例 #2

输入 #2

8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3

输出 #2

5

说明/提示

• 对于 $40\%$ 的数据，保证 $n \le 15$。
• 对于 $70\%$ 的数据，保证 $n \le 80$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $2\le n \le 300$，$0\le s\le10^3$，$1 \leq u, v \leq n$，$0 \leq w \leq 10^3$。

NOIP2007 提高组第四题

题解

1. 输入处理：

   • 读取节点数n和最大允许路径长度s
   • 读取并构建树的邻接表表示

2. 寻找树的直径：

   • getFarthest(int start)：从起点出发找到最远的节点
   • buildDiameter()：通过两次DFS找到树的最长路径（直径）

3. 预处理距离信息：

   • 计算每个节点到直径上每个点的距离，存储在g[][]数组中
   • 计算直径上相邻点之间的累积距离，存储在segLen[]中

4. 枚举所有可能的路径：

   • 枚举直径上所有可能的子路径[l, r]
   • 检查路径长度是否≤s
   • 对于每个有效路径，计算其偏心距（到其他节点的最大最小距离）
   • 记录最小的偏心距

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 305;
const int INF = 1e9;

struct Edge {
    int to, w;
};

vector<Edge> adj[MAXN];
int dist[MAXN], pre[MAXN];
int diameter[MAXN], dlen;
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j] = min distance from node i to diameter segment [0,j]
int n, s;

void dfs(int u, int p, int d) {
    dist[u] = d;
    pre[u] = p;
    for (auto& e : adj[u]) {
        if (e.to != p) {
            dfs(e.to, u, d + e.w);
        }
    }
}

int getFarthest(int start) {
    memset(dist, 0, sizeof(dist));
    memset(pre, -1, sizeof(pre));
    dfs(start, -1, 0);

    int res = start, maxd = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (dist[i] > maxd) {
            maxd = dist[i];
            res = i;
        }
    }
    return res;
}

void buildDiameter() {
    int u = getFarthest(1);
    int v = getFarthest(u);

    dlen = 0;
    int cur = v;
    while (cur != -1) {
        diameter[dlen++] = cur;
        cur = pre[cur];
    }
    reverse(diameter, diameter + dlen);
}

int getDistance(int u, int v) {
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dfs(u, -1, 0);
    return dist[v];
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &s);

    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int u, v, w;
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        adj[u].push_back({v, w});
        adj[v].push_back({u, w});
    }

    buildDiameter();

    // 预处理：计算每个点到直径上每个点的距离
    int g[MAXN][MAXN];
    for (int i = 0; i < dlen; i++) {
        memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
        dfs(diameter[i], -1, 0);
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            g[j][i] = dist[j];
        }
    }

    // 计算直径上相邻点的距离
    int segLen[MAXN] = {0};
    for (int i = 1; i < dlen; i++) {
        segLen[i] = segLen[i-1] + getDistance(diameter[i-1], diameter[i]);
    }

    int ans = INF;

    // 枚举所有可能的核心路径
    for (int l = 0; l < dlen; l++) {
        for (int r = l; r < dlen; r++) {
            int pathLen = segLen[r] - segLen[l];
            if (pathLen > s) break;

            int ecc = 0;
            for (int v = 1; v <= n; v++) {
                int minDist = INF;
                for (int i = l; i <= r; i++) {
                    minDist = min(minDist, g[v][i]);
                }
                ecc = max(ecc, minDist);
            }
            ans = min(ans, ecc);
        }
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}