[C++] 优秀的拆分

洛谷P7071

一般来说，一个正整数可以拆分成若干个正整数的和。

例如，$1=1$，$10=1+2+3+4$ 等。对于正整数 $n$ 的一种特定拆分，我们称它为“优秀的”，当且仅当在这种拆分下，$n$ 被分解为了若干个不同的 $2$ 的正整数次幂。注意，一个数 $x$ 能被表示成 $2$ 的正整数次幂，当且仅当 $x$ 能通过正整数个 $2$ 相乘在一起得到。

例如，$10=8+2=2^3+2^1$ 是一个优秀的拆分。但是，$7=4+2+1=2^2+2^1+2^0$ 就不是一个优秀的拆分，因为 $1$ 不是 $2$ 的正整数次幂。

现在，给定正整数 $n$，你需要判断这个数的所有拆分中，是否存在优秀的拆分。若存在，请你给出具体的拆分方案。

输入格式

输入只有一行，一个整数 $n$，代表需要判断的数。

输出格式

如果这个数的所有拆分中，存在优秀的拆分。那么，你需要从大到小输出这个拆分中的每一个数，相邻两个数之间用一个空格隔开。可以证明，在规定了拆分数字的顺序后，该拆分方案是唯一的。

若不存在优秀的拆分，输出 -1。

输入输出样例 #1

输入 #1

6

输出 #1

4 2

输入输出样例 #2

输入 #2

7

输出 #2

-1

说明/提示

样例 1 解释

$6=4+2=2^2+2^1$ 是一个优秀的拆分。注意，$6=2+2+2$ 不是一个优秀的拆分，因为拆分成的 $3$ 个数不满足每个数互不相同。

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数据规模与约定

• 对于 $20\%$ 的数据，$n \le 10$。
• 对于另外 $20\%$ 的数据，保证 $n$ 为奇数。
• 对于另外 $20\%$ 的数据，保证 $n$ 为 $2$ 的正整数次幂。
• 对于 $80\%$ 的数据，$n \le 1024$。
• 对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n \le {10}^7$。

题解

很明显我们可以注意到，任意正整数表示为二进制后末位为0（即其是偶数），则存在优秀的拆分。

当我们试图从二进制逆向回十进制时，我们对这个数的第n位乘以 $2^{n-1}$ ，并累加，由此我们可以得出：

$$\text{Decimal} = \sum_{i=0}^{n-1} b_i \times 2^i$$

因此，当 $b_0 = 0$ 时，又因为 $b_i \in \{0, 1\} \quad \forall i$，所以此时该数一定存在优秀的拆分。

而且这个拆分就是这个公式去掉所有为0项的结果。

因此我们可以简单的通过位运算拆出来

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    if(n<=0 || n&1){
        cout << -1;
        return 0;
    }
    int m, x;
    while(n&&(m=log2(n))){
        x = 1 << m;
        cout << x << " ";
        n -= x;
    }
    return 0;
}